Question

設函數(shù)f（x）=xe^kx（k≠0）．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當k＞0時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求切線方程即可．（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．（3）要使f（x）在區(qū)間（-1，1）內單調遞增，則f'（x）≥0成立即可．

解答：解：（1）因為f'（x）=（1+kx）e^kx，f'（0）=1，f（0）=1．
所以曲線y=f（x）在點（0，f （0））處的切線方程為y=x．…．（4分）
（2）由f'（x）=（1+kx）e^kx=0得1+kx=0，即x=-

1

k

，k≠0．…．（5分）
①若k＞0，則當x＜-

1

k

時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減．
當x＞-

1

k

時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．…．（7分）
②若k＜0，則當x＜-

1

k

時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
當x＞-

1

k

時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減．…..（9分）
所以當k＞0時，函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，-

1

k

），增區(qū)間為（-

1

k

，+∞）．
當k＜0時，函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-

1

k

），減區(qū)間為（-

1

k

，+∞）．
（3）由（II）知，若k＞0，則當且僅當-

1

k

≤-1，即k≤1，f（x）在區(qū)間（-1，1）內單調遞增；…（11分）
若k＜0，則當且僅當-

1

k

≥1，即k≥-1．
綜上可知，f（x）在區(qū)間（-1，1）內單調遞增時，k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，要求熟練掌握導數(shù)和函數(shù)單調性之間的關系，考查學生的運算能力，綜合性較強．