Question

（2012•煙臺二模）已知函數f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f′（x）．
（1）當a=

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時，若不等式f'（x）＞-

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3

對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，討論關于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上實數根的情況．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用不等式f'（x）＞-

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對任意x∈R恒成立，可得x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式可得b的取值范圍；
（2）利用函數f（x）為奇函數，函數f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，求出函數解析式，從而確定函數的單調性，求出函數的極值，再分類討論，即可得到結論．

解答：解：（1）當a=

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時，f′（x）=x²+2bx+b-

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，
依題意f′（x）=x²+2bx+b-

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＞

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，即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）；
（2）∵函數f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），∴b=0，∴函數f（x）=ax³-ax
∴f′（x）=3ax²-a
∵函數f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0
∴a=1
∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上單調遞增，在（-

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3

，

3

3

）上單調遞減
由f（x）=0得x=±1，x=0
f（x）在[-1，+∞）上圖象如圖所示
∵f（-

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3

）=

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，f（

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3

）=-

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9

，
∴當k＜-

2 3

9

時，f（x）=k在[-1，+∞）上沒有實數根；
當k＞

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9

或k=-

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9

時，f（x）=k在[-1，+∞）上有且只有一個實數根；
當k=

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9

或-

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＜k＜0時，f（x）=k在[-1，+∞）上有兩個實數根；
當0＜k＜

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9

時，f（x）=k在[-1，+∞）上有三個實數根．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論的數學思想，考查方程根的討論，屬于中檔題．