Question

如圖，在四棱錐中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【命題意圖】本題考查空間位置關系、二面角等有關知識，考查空間想象能力，中等題．

【答案】(Ⅰ)證明：取BE的中點O，AE的中點F，連OC，OF，DF，則2OFBA

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD    

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

從而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A—EB—D與二面角F—EB—D相等，

由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角為∠FOD。

BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，

∴OFDC為正方形，∴∠FOD=，

∴二面角A—EB—D的大小為．   ……………………12分

解法2：取BE的中點O，連OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O為原點建立如圖空間直角坐標系O－xyz，

則由已知條件有: ，，

設平面ADE的法向量為，

則由·

及·

可取

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取為＝.

∵··=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）設平面BDE的法向量為，

則由·

及·可取

∵平面ABE的法向量可取為＝

∴銳二面角A—EB—D的余弦值為=，

∴二面角A—EB—D的大小為．          ……………………………12分