Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點是的中點，且，.

（1）求四棱錐的體積；

（2）求證：∥平面；

（3）求直線和平面所成的角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2） 取的中點，連接、。∥且 

由底面是直角梯形，垂直于和，得到∥且，從而∥且，由 四邊形是平行四邊形推出∥，得到∥平面；

（3）直線和平面所成的角的正弦值是。

【解析】

試題分析：（1）∵⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥

∵,、是平面內的兩條相交直線

∴ 側棱底面               2分

在四棱錐中，側棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴            4分

（2） 取的中點，

連接、。

∵ 點是的中點  

∴∥且 

∵ 底面是直角梯形，垂直于和，，

∴ ∥且            

∴ ∥且

∴ 四邊形是平行四邊形　　　　　

∴ ∥

∵，

∴ ∥平面                            8分

（3）∵ 側棱底面，底面　　　

∴

∵垂直于，、是平面內的兩條相交直線

∴ ，垂足是點                  

∴是在平面內的射影，

∴是直線和平面所成的角            

∵ 在中，，    

∴

∴

∴ 直線和平面所成的角的正弦值是     13分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系，角及體積計算。

點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，能省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。