Question

已知某同學上學途中必須經過三個交通崗，且在每一個交通崗遇到紅燈的概率均為，假設他在3個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，用隨機變量ξ表示該同學遇到紅燈的次數．
（1）求該同學在第一個交通崗遇到紅燈，其它交通崗未遇到紅燈的概率；
（2）若ξ≥2，則該同學就遲到，求該同學不遲到的概率；
（3）求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）用事件A_i（i=1，2，3）表示該同學在第i個交通崗遇到紅燈，事件B表示“在第一個交通崗遇到紅燈，其它交通崗未遇到紅燈”，則B=，且事件A_i兩兩相互獨立，得到概率．
（2）因為該同學經過三個交通崗時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨立重復試驗，即ξ～B（3，） 
（3）根據隨機變量ξ～B（3，），寫出分布列，得到Eξ=3×，利用公式得到期望和分布列．
解答：解：（1）用事件A_i（i=1，2，3）表示該同學在第i個交通崗遇到紅燈，
事件B表示“在第一個交通崗遇到紅燈，其它交通崗未遇到紅燈”，（1分）
則B=，且事件A_i兩兩相互獨立．    （2分）
所以P（B）=P（）=．（4分）
（2）因為該同學經過三個交通崗時，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨立重復試驗，
即ξ～B（3，）         （6分）
所以該學生不遲到的概率為：
P（ξ＜2）=1-P（ξ≥2）=1--=1-=   （8分）
（3）因為隨機變量ξ～B（3，）          （9分）
P（ξ=k）=
所以Eξ=3×=1，（11分）
答：該同學恰好在第一個交通崗遇到紅燈的概率為；該同學不遲到的概率為；
ξ的數學期望為1，方差為．      （12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，以及二項分布，本題解題的關鍵是看出變量符合二項分布，利用二項分布的分布列和期望公式得到結論．