Question

設a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數．
（Ⅰ）設關于x的方程求在區間[2，6]上有實數解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=e，e為自然對數的底數）時，證明：；
（Ⅲ）當0＜a≤時，試比較||與4的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有實數解，求出t的表達式，利用導數確定t 的范圍；
（Ⅱ）a=e求出，利用導數推出是增函數，求出最小值，即可證明；
（Ⅲ）利用放縮法，求出||的取值范圍，最后推出小于4即可．
解答：解：（1）由題意，得a^x=＞0
故g（x）=，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
由得t=（x-1）²（7-x），x∈[2，6]
則t′=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t'		+		-
t	5	遞增	極大值32	遞減	25

所以t_最小值=5，t_最大值=32
所以t的取值范圍為[5，32]（5分）

（Ⅱ）
=ln（）
=-ln
令u（z）=-lnz²-=-2lnz+z-，z＞0
則u′（z）=-=（1-）²≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函數
又因為＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0
即ln＞0
即（9分）

（3）設a=，則p≥1，1＜f（1）=≤3，
當n=1時，|f（1）-1|=≤2＜4，
當n≥2時，
設k≥2，k∈N^*時，則f（k）=，
=1+
所以1＜f（k）≤1+，
從而n-1＜≤n-1+=n+1-＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
綜上所述，總有|-n|＜4．
點評：本小題考產函數、反函數、方程、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查化歸、分類整合等數學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力．