Question

已知函數f（x）=lnx，
（1）當a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，求實數b的取值范圍；
（2）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（0＜x₁＜x₂），且線段AB的中點為C（x，0），函數V（x）的導函數為V′（x），求證：V′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，可得對任意x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，求出函數的最值，即可求實數b的取值范圍；
（2）利用反證法，求導函數，利用V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（0＜x₁＜x₂），且線段AB的中點為C（x，0），從而可引出矛盾．
解答：（1）解：由題意，h（x）=lnx+x²-bx，
∵函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，
∴對任意x∈（0，+∞）恒成立
分離參數可得，
所以…（4分）
（2）證明：V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），所以
令V′（x）=0，則由題意可得①；②
x₁+x₂=2x③；=0④
由①②得
由④得
所以，即⑤（8分）
令，則，所以
因此u（t）在（0，1）上是增函數，
所以u（t）＜u（1）=0，即與⑤矛盾 
因此假設不成立  
故V'（x）≠0（12分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．