Question

已知函數f(x)＝ax²－2x＋lnx.

(1)若f(x)無極值點，但其導函數f′(x)有零點，求a的值；

(2)若f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f(x)的極小值小于－.

Answer 1

解析　(1)首先，x>0，

f′(x)＝2ax－2＋＝，

f′(x)有零點而f(x)無極值點，表明該零點左右f(x)同號，故a≠0，且2ax²－2x＋1＝0的Δ＝0.由此可得a＝.

(2)由題意，2ax²－2x＋1＝0有兩不同的正根，故Δ>0，a>0.解得0<a<.

設2ax²－2x＋1＝0有兩根為x₁，x₂，不妨設x₁<x₂，因為在區間(0，x₁)，(x₂，＋∞)上，f(x)>0，而在區間(x₁，x₂)上，f(x)<0，故x₂是f(x)的極小值點．

因f(x)在區間(x₁，x₂)上f(x)是減函數，如能證明f()<－.

由韋達定理，＝，f()＝a()²－2()＋ln＝ln－·.

令＝t，其中t>1.設g(t)＝lnt－t＋，利用導數容易證明g(t)．

當t>1時單調遞減，而g(1)＝0，因此g(t)<0，即f(x)的極小值f(x₂)<0.

(2)另證：實際上，我們可以用反代的方式證明f(x)的極小值均小于－.

由于兩個極值點是方程2ax²－2x＋1＝0的兩個正根，所以反過來，a＝(用x₁表示a的關系式與此相同)，這樣f(x₂)＝ax－2x₂＋lnx₂＝

即f(x₂)＝lnx₂－x₂－，再證明該式小于－是容易的(注意x₂≠1，下略).