Question

已知函數f（x）=ax+-a（a∈R，a≠0）在x=3處的切線方程為（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求證：曲線g（x）上的任意一點處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值；
（2）若f（3）=3，是否存在實數m，k，使得f（x）+f（m-x）=k對于定義域內的任意x都成立；
（3）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三個解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

證明：（1）因為 f′（x）=a-
所以 f′（3）=a-=，b=2…（2分）
又 g（x）=f（x+1）=ax+，
設g（x）圖象上任意一點P（x₀，y₀）因為 g′（x）=a-，
所以切線方程為y-（ax₀+）=（a-）（x-x₀）…（4分）
令x=0 得y=； 再令y=ax得 x=2x₀，
故三角形面積S=|||2x₀|=4，
即三角形面積為定值．…（6分）
解：（2）由f（3）=3得a=1，f（x）=x+-1假設存在m，k滿足題意，
則有x-1++m-x-1+=k
化簡，得 對定義域內任意x都成立，…（8分）
故只有解得
所以存在實數m=2，k=0使得f（x）+f（m-k）=k對定義域內的任意都成立．…（11分）
（3）由題意知，x-1+=t（x²-2x+3）|x|
因為x≠0，且x≠1
化簡，得 t=…（13分）
即=|x|（x-1）…（15分）
如圖可知，-＜＜0
所以t＜-4即為t的取值范圍．…（16分）
分析：（1）先求導數：f′（x）=a-利用導數的幾何意義求出切線方程，令x=0 得y=； 再令y=ax得 x=2x₀，從而證得三角形面積為定值；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在m，k滿足題意，再利用 對定義域內任意x都成立，求出m，k，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（3）由題意知，x-1+=t（x²-2x+3）|x|，分離出t：t=，畫出此函數的圖象，由圖可知t的取值范圍．
點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的極值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．