Question

在三棱錐P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中點，點E在BC上，且BE=2CE，
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求直線DE與PC夾角θ的余弦值；
（3）求點A到平面BDE的距離d的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：所以PA⊥AC．因為∠BAC=90°，即AB⊥AC，所以AC⊥面PAB．進而得到AC⊥BD．
（2）建立空間直角坐標系，分別求出兩條直線所在的向量，利用向量之間的運算計算出兩個向量的夾角，進而轉化為兩條異面直線的夾角．
（3）設平面BDE的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

⊥

BE

，

n

⊥

DE

，可得

n

=(2，2，3)，進而利用向量有關射影的知識可得：點A到平面BDE的距離．

解答：證明：（1）因為PA⊥面ABC，AC⊆面ABC，
所以PA⊥AC．
又因為∠BAC=90°，即AB⊥AC，
所以AC⊥面PAB．
因為BD⊆面PAB，
所以AC⊥BD．
解：以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則由已知得：D（0，0，2），E（1，2，0），
所以

DE

=(1，2，-2)，

PC

=(0，3，-4)，

AB

=(3，0，0)，

BE

=(-2，2，0)．
（2）由上可得cos＜

DE

，

PC

＞=

DE • PC

| DE |•| PC |

=

0+6+8

1+4+4 • 0+9+16

=

14

15

＞0．
所以直線DE與PC夾角θ的余弦值為：cosθ=cos＜

DE

，

PC

＞=

14

15

．
（3）設平面BDE的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

⊥

BE

，

n

⊥

DE

，
即：

-2x+2y+0=0 x+2y-2z=0

，
令x=2，則可得

n

=(2，2，3)．
故點A到平面BDE的距離d的值為：d=

| AB • n |

| n |

=

|6+0+0|

4+4+9

=

6 17

17

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，熟悉線面之間的關系并且利于建立空間直角坐標系，再利用空間向量的知識解決空間角與空間距離等問題．