Question

18．已知f（x）=|x²-2x-3|
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若g（x）=f（x）-m有4個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出方程f（x）=0的根，利用配方法化簡后，由二次函數的圖象畫出f（x）的函數圖象，由圖象寫出f（x）的單調區間；
（2）將函數g（x）的零點問題轉化為函數圖象的交點問題，由圖求出m的取值范圍．

解答 解：（1）令f（x）=|x²-2x-3|=0，解得x=-1或x=3，
畫出函數f（x）=|x²-2x-3|=|（x-1）²-4|的圖象：
由圖得，
f（x）的增區間是（-1，1），（3，+∞），
減區間是（-∞，-1），（1，3）；
（2）∵g（x）=f（x）-m有4個零點，
∴函數y=f（x）的圖象與直線y=m有4個不同的交點，
由圖得，m的取值范圍是（0，4）．

點評 本題考查了函數的零點與函數圖象的交點關系，以及二次函數的圖象，考查轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題．