Question

設函數f（x）在其定義域D上的導函數為f′（x）．如果存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意的x∈D都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數f（x）具有性質P（a）．給出下列四個函數：
①f（x）=x³-x²+x+1；
②f（x）=lnx+；
③f（x）=（x²-4x+5）e^x；
④f（x）=，
其中具有性質P（2）的函數是    ．（寫出所有滿足條件的函數的序號）

Answer 1

【答案】分析：因為a=2，所以先求出函數f（x）的導函數f′（x），然后將其配湊成f′（x）=h（x）（x²-2x+1）這種形式，分別求出h（x），然后確定h（x）是否滿足對任意的x∈D都有h（x）＞0．
解答：解：①f'（x）=x²-2x+1，若f′（x）=h（x）（x²-2x+1），即x²-2x+1=h（x）（x²-2x+1），
    所以h（x）=1＞0，滿足條件，所以①具有性質P（2）．
②函數f（x）=lnx+的定義域為（0，+∞）．，
所以，當x∈（0，+∞）時，h（x）＞0，所以②具有性質P（2）．
③f'（x）=（2x-4）e^x+（x²-4x+5）e^x=（x²-2x+1）e^x，所以h（x）=e^x，因為h（x）＞0，所以③具有性質P（2）．
④，若，
則，因為h（1）=0，所以不滿足對任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性質P（2）．
故答案為：①②③．
點評：本題的考點是導數的運算以及通過條件求h（x），本題的關鍵是通過關系式確定函數h（x）的表達式，然后判斷條件是否成立．運算量較大．