Question

已知函數．（a為常數，a＞0）
（Ⅰ）若是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在上是增函數；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在 ，使不等式f（x）＞m（1-a²）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導函數：，利用是函數f（x）的一個極值點對應的結論f'（）=0即可求a的值；
（Ⅱ）利用：，在0＜a≤2時，分析出因式中的每一項都大于等于0即可證明結論；

（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為，把問題轉化為對任意的a∈（1，2），不等式恒成立；然后再利用導函數研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數m的取值范圍．
解答：解：由題得：．
（Ⅰ）由已知，得且，∴a²-a-2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）
（Ⅱ）當0＜a≤2時，∵，∴，
∴當時，．又，
∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函數．（5分）
（Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
記，（1＜a＜2）
則，
當m=0時，，∴g（a）在區間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，
由于a²-1＞0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴．
若，可知g（a）在區間上遞減，在此區間上，有g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴，即，
所以，實數m的取值范圍為．（14分）
點評：本題第一問主要考查利用極值求對應變量的值．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．