Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=（1）求MN的長；

（2）當為何值時，MN的長最小；  （3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

Answer 1

解析:

（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴,, 即,

∴

（2）由（1）知: ，

(3)取MN的中點G，連接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，

∴∠AGB即為二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有

。故所求二面角。