Question

某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規則是：每位選手可以選擇在A區投籃2次或選擇在B區投籃3次．在A區每進一球得2分，不進球得0分；在B區每進一球得3分，不進球得0分，得分高的選手勝出．已知參賽選手甲在A區和B區每次投籃進球的概率分別為

9

10

和

1

3

（Ⅰ）如果選手甲以在A、B區投籃得分的期望高者為選擇投籃區的標準，問選手甲應該選擇哪個區投籃？
（Ⅱ）求選手甲在A區投籃得分高于在B區投籃得分的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意選手甲在A，B區投籃的次數X，Y這兩個隨機變量符合二項分布，再利用二項分布的定義找到隨機變量X，Y的分布列，再利用期望公式即可求得；
（II）由題意設選手甲在A區投籃得分高于在B區投籃得分為事件C，有（I）知結果．

解答：解：（I）設選手甲在A區投籃的得分為ξ，則ξ的可能取值為0，2，4，P(ξ=0)=(1-

9

10

)2=

1

100

；P(ξ=2)=

C

1 2

9

10

•(1-

9

10

)=

18

100

；P(ξ=4)=(

9

10

)2=

81

100

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	2	4
p	1 100	18 100	81 100

∴Eξ=3.6
同理，設選手甲在B區投籃的得分為η，則η的可能取值為0，3，6，9，

P(η=0)=(1- 1 3 )3= 8 27 ；         P(η=3)= C 1 3 1 3 •(1- 1 3 )2= 4 9 ； P(η=6)= C 2 3 ( 1 3 )2(1- 1 3 )= 2 9 ；   P(η=9)=( 1 3 )3= 1 27 .

所以η的分布列為：

η	0	3	6	9
p	8 27	4 9	2 9	1 27

∴Eη=3，∵Eξ＞Eη，∴選手甲應該選擇A區投籃．
（Ⅱ）設選手甲在A區投籃得分高于在B區投籃得分為事件C，有（I）知：
P(C)=P(ξ＞η)=P(ξ=4 且η=3或0)+P(ξ=2且η=0) =

81

100

×(

8

27

+

4

9

)+

18

100

×

8

27

=

49

75

 故選手甲在A區投籃得分高于在B區投籃得分的概率為

49

75

．

點評：此題考查了學生的理解能力及計算能力，還考查了隨機變量的定義及其分布列，還考查了隨機變量的期望的定義．