Question

已知點P是雙曲線上除頂點外的任意一點，F₁、F₂分別為左、右焦點，c為半焦距，△PF₁F₂的內切圓與F₁F₂切于點M，則|F₁M|•|F₂M|=________．

Answer 1

b²
分析：根據圖象和圓切線長定理可知：|F₁M|=|F₁S|，|F₂M|=|F₂T|，|PS|=|PT|后根據雙曲線的定義分P在圖象的右支和左支可得
|F₁M|-|F₂M|=±2a，與|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c聯立即可求出|F₁M|和|MF₂|，|F₁M|與|F₂M|的積再根據雙曲線的基本性質c²-a²=b²化簡得到值．
解答：根據從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等可知：|F₁M|=|F₁S|，|F₂M|=|F₂T|，|PS|=|PT|
①當P在雙曲線圖象的右支時，而根據雙曲線的定義可知
|F₁M|-|F₂M|=|F₁P|-|F₂P|=2a①；
而|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c②，
聯立①②解得：|F₁M|=a+c，|F₂M|=c-a，所以|F₁M|•|F₂M|=（a+c）（c-a）=c²-a²=b²；
②當P在雙曲線圖象的左支時，而根據雙曲線的定義可知
|F₂M|-|F₁M|=|F₂P|-|F₁P|=2a③；
而|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c④，
聯立③④解得：|F₂M|=a+c，|F₁M|=c-a，|F₁M|•|F₂M|=（a+c）（c-a）=c²-a²=b²．
綜上，可得|F₁M|•|F₂M|=b²．
故答案為：b²
點評：考查學生掌握雙曲線的基本性質，靈活運用圓切線長定理化簡求值．做題時注意利用分類討論的數學思想．