Question

如圖所示，某農場在P處有一個肥堆，今要把這堆肥料沿道路PA或PB送到大田ABCD中去．已知PA＝100米，PB＝150米，∠APB＝，能否在大田中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿道路PB送肥較近?如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出其方程。

Answer 1

答案：
解析：

解：大田ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近，第二類沿PB送肥較近，第三類沿PA或PB送肥一樣遠近．由題意知，界線是第三類點的軌跡． 　　設M是界線上任一點，則｜PA｜+｜MA｜＝｜PB｜+｜MB｜， 　　即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜ 　　　　　　　　　　　＝150－100＝50(定值)． 　　因此，所求界線是以A、B為焦點的雙曲線的一支． 　　以直線AB為x軸，線段AB的中點O為坐標原點，如圖建立直角坐標系，則所求曲線方程標準形式為－＝1， 　　其中a＝25． 　　2c＝｜AB｜ 　　　＝ 　　　＝50， 　　c＝25，b2＝c2－a2＝3750． 　　因此，所求雙曲線方程為－＝1(x≥25)． 　　分析：由題意列出幾何等式，借助于圓錐曲線的定義解題． 　　點評：在分析幾何因素時，將｜PA｜+｜MA｜＝｜PB｜+｜MB｜轉化為｜MA｜－｜MB｜－｜PB｜－｜PA｜為定值是解題的關鍵．