Question

已知點P是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)上的動點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，O是坐標原點，若M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，則OM的取值范圍是

[0，2）

．

Answer 1

分析：利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉化為用橢圓上點的橫坐標表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍

解答：解：如圖，延長PF₂，F₁M，交與N點，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
連接OM，∵O為F₁F₂中點，M為F₁F₂中點
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)中，設P點坐標為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P點在橢圓

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵當|x₀|=4時，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案為[0，2）

點評：本題主要考查了橢圓的焦半徑公式在求范圍中的應用，做題時要善于發現規律，把所求問題轉化為熟悉的知識．