Question

設函數f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）討論函數f（x）的單調性． 
 （2）求f（x）在區間[-

3

4

 ， 

1

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導函數，然后求出f'（x）＞0時x的范圍；并且求出f'（x）＜0時x的范圍，進而解決單調性問題，注意定義域；
（2）分別求f（x）在區間[-

3

4

 ， 

1

4

]上的極值和區間端點的函數，進行比較可得函數的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意可得：f′（x）=

2

2x+3

+2x=

4x2+6x+2

2x+3

=

2(2x+1)(x+1)

2x+3

．
所以當-

3

2

＜x＜-1時，f'（x）＞0；
當-1＜x＜-

1

2

時，f'（x）＜0；
當x＞-

1

2

時，f'（x）＞0．
從而，f（x）分別在區間（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）單調增加，在區間（-1，-

1

2

）單調遞減．
（2）有（1）可知函數在x=-

1

2

處取極值
而f（-

3

4

）=ln

3

2

+

9

16

，f（-1）=1，f（-

1

2

）=ln2+

1

4

，f（

1

4

）=ln

7

2

+

1

16

∴f（x）在區間[-

3

4

 ， 

1

4

]上的最大值為ln

7

2

+

1

16

，最小值為ln2+

1

4

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數的值域，同時考查了計算能力，屬于基礎題．