Question

中華人民共和國關于《環境空氣質量指數（AQI）技術規定（試行）》（HJ633-2012）中，關于空氣質量指數劃分如下表所示：

AQI	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	＞300
級別	Ⅰ級	Ⅱ級	Ⅲ級	Ⅳ級	Ⅴ級	Ⅵ級
類別	優	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

某市為了監測該市的空氣質量指數，抽取一年中n天的數據進行分析，得到如下頻率分布表及頻率分布直方圖：

分組	頻數	頻率
[0，50）	x	0.06
[50，100）	10	0.2
{100，150）	20	y
[150，200）	15	0.3
[200，250）	2	0.04
合計	n	1

（Ⅰ）求n、x、y和p的值；
（Ⅱ）利用樣本估計總體的思想，估計該市一年中空氣質量指數的平均數為多少？
（Ⅲ）該市政府計劃通過對環境進行綜合治理，使得今后Ⅲ的空氣質量指數比上一年降低5%，問至少經過多少年后該市的空氣質量可以達到優良水平？
（參考數據：0.95⁴≈0.815，0.95⁵≈0.774）

Answer 1

考點：頻率分布直方圖

專題：函數的性質及應用,概率與統計

分析：（Ⅰ）根據頻率分布表，求出樣本容量n以及x、y與p的值；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，計算數據的平均數即可；
（Ⅲ）根據題意，列出不等式128×（1-0.05）^x≤100，求出x的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據頻率分布表，得；
數據在[50，100）內的頻數是10，頻率是0.2，
∴樣本容量是n=

10

0.2

=50，
頻數x=50×0.06=3，
頻率y=

20

50

=0.4，
在頻率分布直方圖中，p是最高矩形的高度，
∴p=

0.4

50

=0.008；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，得；
空氣質量指數的平均數是

.

x

=25×0.06+75×0.2+125×0.4+175×0.3+225×0.04=128，
估計該市一年中空氣質量指數的平均數為128；
（Ⅲ）根據題意，令128×（1-0.05）^x≤100，
即0.95^x≤0.781；
∵0.95⁵≈0.774＜0.781，
∴x≥5；
即至少經過5年后該市的空氣質量可以達到優良水平．

點評：本題考查了頻率分布的應用問題，也考查了函數模型的應用問題，是綜合題目．