Question

【題目】從一批有10個合格品與3個次品的產品中，一件一件地抽取產品，設各個產品被抽取到的可能性相同．在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取次數x的分布列．
（1）每次取出的產品都不放回此批產品中；
（2）每次取出的產品都立即放回此批產品中，然后再取出一件產品；
（3）每次取出一件產品后總以一件合格品放回此批產品中．

Answer 1

【答案】
（1）解：X的取值為1，2，3，4．

當X=1時，只取一次就取到合格品，

∴P（X=1）= ；

當X=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，

∴P（X=2）= ；

類似地有：

P（X=3）= ，

P（X=4）= ，

∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P

（2）解：X的取值為1，2，3，…，n，…．

當X=1時，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）= ；

當X=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（X=2）= ；

當X=3時，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，

∴P（X=3）= ；

類似地當X=n時，即前n﹣1次均取到次品，而第n次取到合格品，

∴P（X=n）=（ ）n﹣1× ，n=1，2，3，

∴X的分布列為：

X	1	2	3	…	n	…
P				…		…

（3）解：X的取值為1，2，3，4．

當X=1時，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）= ；

當X=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取時，這批產品有11個合格品，2個次品，

∴P（X=2）= ；

類似地，P（X=3）= ；

P（X=4）= ，

∴ξ的分布列為：

X	1	2	3	4
P

【解析】（1）X的取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．（2）X的取值為1，2，3，…，n，…，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．（3）X的取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．