Question

已知函數f(x)＝x－ln(x＋a)在x＝1處取得極值.

(1)求實數a的值；

(2)若關于x的方程f(x)＋2x＝x²＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；

(3)證明： (n∈N，n≥2).參考數據：ln2≈0.6931.

Answer 1

（1）0（2）＋ln2≤b≤2

（3）見解析

解析:

(1)f '(x)＝1＋，由題意，得f '(1)＝0  ??  a＝0 ……2'

(2)由(1)知f(x)＝x－lnx

∴f(x)＋2x＝x²＋b  ó  x－lnx＋2x＝x²＋b  ó  x²－3x＋lnx＋b＝0

設g(x)＝x²－3x＋lnx＋b(x＞0)

則g'(x)＝2x－3＋＝         ……4'

當x變化時，g'(x)，g(x)的變化情況如下表

x	(0，)		(，1)	1	(1，2)	2
g'(x)	＋	0	－	0	＋
G(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗	b－2＋ln2

                   ……6'

當x＝1時，g(x)_最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2

∵方程f(x)＋2x＝x²＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根

由  ?? 

??  ＋ln2≤b≤2      ……9'

(3)∵k－f(k)＝lnk

∴nk＝2

ó(n∈N，n≥2)     ……10’

設Φ(x)＝lnx－(x²－1)

則Φ'(x)＝－＝

當x≥2時，Φ'(x)＜0  ??  函數Φ(x)在[2，＋∞)上是減函數，

∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0  ??  lnx＜(x²－1)       ……12'

∴當x≥2時，      ……13'

∴

＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋……()]

＝2(1＋－)

＝.

∴原不等式成立.      ……14'