Question

（2011•孝感模擬）已知F₁，F₂為橢圓

x2

100

+

y2

b2

=1(0＜b＜10)的左、右焦點，P是橢圓上一點．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）若∠F₁PF₂=60°且△F₁PF₂的面積為

64 3

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；、
（2）先根據橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解即可求出b值．

解答：解：（1）∵P點在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=20，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤

(|PF1|+|PF2|)2

4

=100，
∴|PF₁|•|PF₂|有最大值100．
（2）∵a=10，|F₁F₂|=2c．
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則根據橢圓的定義可得：t₁+t₂=20①，
在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
所以根據余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得3t₁•t₂=400-4c²，
所以由正弦定理可得：S△F1PF2=

1

2

t1t2•sin60°=

1

2

×

1

3

×(400-4c2)× 

3

2

=

64 3

3

．
所以c=6，
∴b=8．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的意義，橢圓定義的應用，橢圓的幾何性質，利用均值定理和函數求最值的方法