Question

有一塊邊長為4的正方形鋼板，現對其切割、焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）.有人應用數學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長.

（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的最大容積V₁；

（2）請你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請設計一種新方案，使材料浪費最少，且所得長方體容器的容積V₂＞V₁.

Answer 1

解：（1）設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x，高為x，

∴V₁=（4-2x）²x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）.                               

V′₁=4（3x²-8x+4）=12(x-)(x-2).                                        

當0＜x＜時，V′₁＞0；當＜x＜2時，V′₁＜0.                              

∴當x=時，V₁取最大值.                                           

（2）重新設計方案如下：

如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長方體容器．

新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞V₁.故第二種方案符合要求．