Question

已知函數f（x）=x+

1

x

+2．
（1）求f（x）的值域；
（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在區間（0，1）及（1，2）上分別存在一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x＞0和x＜0時，分別使用基本不等式即可求得，最后取兩種情況的并集即可得值域；
（2）將函數零點問題轉化為方程的根的問題，利用二次函數的圖象，列出不等式組，解出不等式組即可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當x＞0時，f（x）=x+

1

x

+2≥2

x• 1 x

+2=4，（當且僅當x=

1

x

⇒x=1時，取“=”）；
當x＜0時，f（x）=-[

1

-x

+(-x)]+2，
∵-x＞0，∴

1

-x

+(-x)≥2，
∴-[(-

1

x

)+(-x)]≤-2，
∴f（x）≤-2+2=0，（當且僅當x=-1時，取“=”），
故f（x）的值域為（-∞，0]∪[4，+∞）．
（2）g（x）=x²+（a+2）x+1，當g（x）有一個零點在（0，1），另一個零點在（1，2）時，
即x²+（a+2）x+1=0的根一個在在（0，1），另一個在（1，2），
∴

g(0)=1 g(1)=4+a＜0 g(2)=9+2a＞0

⇒-

9

2

＜a＜-4，
故實數a的取值范圍為(-

9

2

，-4)．

點評：本題考查了基本不等式的應用，使用基本不等式的時候要注意“一正，二定，三相等”的條件，同時考查了二次函數根的分布的問題，一般結合二次函數圖象分析，利用數形結合的思想方法．屬于中檔題．