Question

已知ω=z+i（z∈C）且

z-2

z+2

為純虛數，求M=|ω+1|²+|ω-1|²的最大值及相應的ω值．

Answer 1

分析：設出2，-2對應的點，z對應的點，則由

z-2

z+2

為純虛數的充要條件是角AZB是直角列式，得到M=|ω+1|²+|ω-1|²=2（|w|²+1），由ω的軌跡得到|ω|的范圍，從而求得MD的最大值即相應ω的值．

解答：解：設2在復平面上對應的點是A，-2對應B，z對應Z點
那么

z-2

z+2

為純虛數的充要條件是角AZB是直角（z-2與z+2的輻角之差）
那么Z就在以AB為直徑的圓上，也就是|z|=2，那么|w-i|=2
M=|ω+1|²+|ω-1|²=2（|w|²+1）
|ω|表示的是ω點到原點的距離，又ω的軌跡是以i為中心，2為半徑的圓，它到原點的最大距離是3
也就是|ω|最大值是3，那么M最大值是20，此時ω=3i．

點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，考查了復數的幾何意義，是中檔題．