Question

如圖，已知面PBC⊥矩形ABCD所在平面，△PBC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，且E、F分別為AB、PD的中點；
（1）求證：EF∥平面PBC；
（2）點G在PD上移動，求證：EF⊥CG；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PC的中點H，連接FH，EF，BH，根據三角形的中位線定理，及矩形的性質，可得四邊形EBHF為平行四邊形，即EF∥BH，再由線面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）由已知中面PBC⊥矩形ABCD所在平面，△PBC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，由等邊三角形三線合一的性質可得BH⊥PC，由正方形的性質及面面垂直的性質可得DC⊥BH，由線面垂直的判定定理可得BH⊥平面PCD，結合（1）中結論及線面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面PCD，再由線面垂直的性質得到EF⊥CG；
（3）由E、F分別為AB、PD的中點，我們可以分析出三棱錐C-BEF與棱錐P-ABCD高及底面面積的關系，求出棱錐P-ABCD的體積后，即可得到三棱錐C-BEF的體積．
解答：證明：（1）取PC的中點H，連接FH，EF，BH
∵E、F分別為AB、PD的中點
∴FH∥CD且FH=CD，
又由ABCD為矩形
∴FH∥AB且FH=AB，
即四邊形EBHF為平行四邊形
即EF∥BH
又∵EF?平面PBC，BH?平面PBC
∴EF∥平面PBC；
（2）∵△PBC是邊長為2的等邊三角形，
∴BH⊥PC，
又∵四邊形EBHF為平行四邊形
∴DC⊥BC
又由面PBC⊥矩形ABCD所在平面，
∴DC⊥面PBC
又∵BH?面PBC
∴DC⊥BH
又由PC∩BH=H
∴BH⊥平面PCD
由（1）得EF∥BH
∴EF⊥平面PCD
由CG?平面PCD
∴EF⊥CG；
（3）過P點作PI⊥BC，易得PI即為棱錐P-ABCD的高，且PI=
則V_P-ABCD==
又∵E、F分別為AB、PD的中點；
∴三棱錐C-BEF的高是棱錐P-ABCD的高的一半，
三棱錐C-BEF的底面面積是棱錐P-ABCD的底面面積的四分之一，
∴
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質，棱錐的體積，其中根據已知條件，添加適當的輔助線，選擇恰當的判定方法，是解答此類問題的關鍵．