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【題目】如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且0,若過(guò) A,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,過(guò)定點(diǎn) M(0,2)的直線與橢圓C交于G,H兩點(diǎn)(點(diǎn)G在點(diǎn)M,H之間).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線的斜率,在x軸上是否存在點(diǎn)P(,0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(Ⅲ)若實(shí)數(shù)滿足,求的取值范圍.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

試題(1)利用向量確定F1為F2Q中點(diǎn),設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),因?yàn)锳Q⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,再由直線與圓相切得 解得c=1,利用橢圓基本量之間的關(guān)系求b;(2)假設(shè)存在,設(shè)方程,聯(lián)立方程組,消元后由判別式大于0可得出,又四邊形為菱形時(shí),對(duì)角線互相垂直,利用向量處理比較簡(jiǎn)單,,化簡(jiǎn)得(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,再由 代入化簡(jiǎn)得:

解得,利用均值不等式范圍;(3) 斜率存在時(shí)設(shè)直線方程,聯(lián)立消元,,再由,進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡(jiǎn),分離k與,利用k的范圍求,注意驗(yàn)證斜率不存在時(shí)情況.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>0,所以F1為F2Q中點(diǎn)

設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),因?yàn)锳Q⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2

且過(guò)A,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的圓心為F1(-c,0),半徑為2c.

因?yàn)樵搱A與直線L相切,所以 解得c=1,所以a=2,故所求橢圓方程為.(2)設(shè)L1的方程為y=kx+2(k>0)由得(3+4k2)x2+16kx+4=0,

由△>0,得 所以k>1/2,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2=(x1+x2-2m,y1+y2=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)),由于菱形對(duì)角線互相垂直,因此所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0因?yàn)閗>0,所以x2-x1≠0所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,所以

,解得, 因?yàn)閗>0,所以故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是.(3)①當(dāng)直線L1斜率存在時(shí),設(shè)直線L1方程為y=kx+2,代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 , 由△>0,得,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2), 則,又,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以x1=λx2, 所以,∴,整理得 ,因?yàn)?/span>, 所以 ,解得又0<λ<1,所以 .②當(dāng)直線L1斜率不存在時(shí),直線L1的方程為x=0,

,所以 .綜上所述,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求橢圓的方程;

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1)若,求的前n項(xiàng)和;

2)證明:不是等比數(shù)列;

3)若,數(shù)列中除去開(kāi)始的兩項(xiàng)外,是否還有相等的兩項(xiàng),并證明你的結(jié)論.

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1)求橢圓的方程;

2)若線段長(zhǎng)為,求直線的傾斜角;

3)點(diǎn)在線段的垂直平分線上,且,求的值.

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1)求證:平面

2)若,求二面角的正弦值.

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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,求的值.

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1)若,均在集合中,求證:函數(shù)

2)若函數(shù))在集合中,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù),求證:存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得對(duì)一切,均有.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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