Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（0，2），離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過定點N（2，0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓過點M（0，2），離心率e=

6

3

，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，利用數量積大于0，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得b=2，

c

a

=

6

3

結合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
①當x₁=x₂=2時，斜率不存在時，不妨令

OA

=(2，

2 6

3

)，

OB

=(2，-

2 6

3

)
∴

OA

•

OB

=4-

8

3

=

4

3

＞0，∠AOB為銳角成立 …（6分）
②當x₁≠x₂時，設直線l的方程為：y=k（x-2）
由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

得x²+3k²（x-2）²=12
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-12

1+3k2

，…（8分）
∴y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=-

8k2

1+3k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

8k2-12

1+3k2

＞0                                 …（10分）
解得k＞

3

或k＜-

3

．…（12分）
綜上，直線l傾斜角的取值范圍是（

π

3

，

2π

3

）．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．