Question

1．已知函數f（x）滿足f（1）=1，對任意x∈R，f′（x）＞1，則f（x）＞x的解集是（1，+∞）．

Answer 1

分析 題目給出的函數f（x）為抽象函數，沒法代式求解不等式f（x）＞x，結合題目給出了對任意x∈R，f′（x）＞1這一條件，想到借助于輔助函數解決，令令g（x）=f（x）-x，然后分析g（x）在實數集上的單調性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）與0的關系求解不等式f（x）＞x的解集．

解答 解：令g（x）=f（x）-x，則，g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函數g（x）在（-∞，+∞）上為增函數，
又g（1）=f（1）-1=0，則由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，
∴f（x）-x＞0的解集為（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集為（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，解答此題的關鍵是引入輔助函數g（x）．