Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

對一切正整數n都成立，求正整數a的最大值，并證明結論．

Answer 1

分析：直接利用數學歸納法的證明步驟，通過n=1，假設n=k時等式成立，證明n=k+1時等式也成立，即可證明結果．

解答：解：當n=1時，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

3+1

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，所以a＜26．
而a是正整數，所以取a=25，…（4分）
下面用數學歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
（1）當n=1時，已證；…（5分）
（2）假設當n=k時，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．…（7分）
則當n=k+1時，有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

．                                …（9分）
因為

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

，
所以

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0．
所以當n=k+1時不等式也成立．                  …（12分）
由（1）（2）知，對一切正整數n，都有

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

；…（13分）

點評：本題考查數學歸納法證明等式的步驟，注意證明n=k+1時必須用上假設，注意證明的方法，考查計算能力．