Question

（08年長郡中學一模文）（13分）在平面直角坐標系中，已知定圓F:（F為圓心），定直線,作與圓F內切且和直線相切的動圓P，

 (1)試求動圓圓心P的軌跡E的方程。

（2）設過定圓心F的直線自下而上依次交軌跡E及定園F于點A、B、C、D，

①是否存在直線，使得成立？若存在，請求出這條直線的方程；若不存在，請說明理由。

 ②當直線繞點F轉動時，的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。

 

Answer 1

解析：（1）設動圓心P(x,y)

因為動圓P與定園F內切，則      

若則

若則 

故動圓心P的軌跡是以F為焦點，為準線的拋物線,

其方程為：                                       ……4分

(2) ①當直線m的斜率存在， 由

設則       

而

若則無解，此時不存在。       ……8分

當直線m的斜率不存在時，則，顯然成立.

故存在直線m使成立.此時直線m:             ……9分

②當直線m的斜率存在時，由①

當直線m的斜率不存在時，

            

 故對于任意的直線m,為定值.                      ……13分