Question

已知函數(shù)f（x）=a+

x2+ax+b

（a，b為實(shí)常數(shù)）
（I） 若a=2，b=-1，求f（x）的值域．
（II） 若f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求常數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（I）將被開方數(shù)進(jìn)行配方，然后求出取值范圍，從而可求出函數(shù)的值域；
（II）討論a是否為0，當(dāng)a≠0時(shí)，只須a＜0，且x²+ax+b的最小值等于a²可求出常數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=a+

x2+ax+b

，a=2，b=-1
∴f（x）=

x2+2x-1

+2
∵

x2+2x-1

≥0，∴f（x）≥2，
∴f（x）的值域?yàn)閇2，+∞）．
（II）當(dāng)a=0時(shí)，則須x²+b的最小值小于等于0，
∴b≤0；
當(dāng)a≠0時(shí)，只須a＜0，且x²+ax+b=(x+

a

2

)2+b-

a2

4

的最小值b-

a2

4

=a²，
即4b=5a²．
∴a=0，b≤0或a＜0，4b=5a²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．