Question

15．在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為棱BB'的中點．
（1）三棱錐D'-A'AE的體積為$\frac{1}{6}$；
（2）若點M是棱CD上的中點，求證：D'M⊥DE．

Answer 1

分析 （1）三棱錐D'-A'AE的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{A}^{'}E}×{A}^{'}{D}^{'}$，由此能求出結果．
（2）取CC′中點G，連接DG，推導出D'M⊥DG，EG⊥D'M，從而D'M⊥平面DEG，由此能證明D'M⊥DE．

解答 解：（1）∵在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為棱BB'的中點，
∴${S}_{△A{A}^{'}E}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，A′D′=1，
∴三棱錐D'-A'AE的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{A}^{'}E}×{A}^{'}{D}^{'}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．…（2分）
故答案為：$\frac{1}{6}$．
證明：（2）點M是棱CD上的中點，
取CC′中點G，連接DG，
則△D′DM≌△DCG，$∠D'MD+∠CDG=\frac{π}{2}$
∴D'M⊥DG，
又∵EG∥BC，EG⊥D'M，且DG∩EG=G
∴D'M⊥平面DEG，DE?平面DEG，∴D'M⊥DE．…（5分）

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．