Question

不等式4≤3sin²x-cos²x-4cosx+a≤20恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：設y=3sin²x-cos²x-4cosx+a=-4cos²x-4cosx+3+a=-4+4+a，-1≤cosx≤1．
故當cosx=1時，函數y有最小值為-9+4+a=a-5； 當cosx=-時，函數y有最大值為 4+a．
又不等式4≤3sin²x-cos²x-4cosx+a≤20恒成立，∴a-5≥4，4+a≤20．
解得 9≤a≤16，即a的取值范圍為[9，16]．
分析：設y=3sin²x-cos²x-4cosx+a=-4+4+a，-1≤cosx≤1，利用二次函數的性質求得y有最小值為a-5，最大值為 4+a，從而得到a-5≥4，4+a≤20，由此求得a的取值范圍．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，求二次函數在閉區間上的最值，以及函數的恒成立問題，屬于中檔題．