Question

橢圓C：的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標原點，C的右頂點和上頂點分別為A、B，且△AOB的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點M、N，交y軸于Q點，證明為定值，并求這個定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標原點，C的右頂點和上頂點分別為A、B，且△AOB的面積為，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，可得一元二次方程，利用韋達定理，及三角形的相似比，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：依題意得…（3分）
解得，故橢圓C的方程為．                          …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意可設直線l的方程為x=ky+4…（6分）
由，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），則…（8分）
又由直線l的方程x=ky+4知
由三角形的相似比得
注意到y₁y₂＞0，
∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|
∴
故為定值．                                           …（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，聯立方程，正確表示比值是關鍵．