Question

已知雙曲線與射線y=（x≥0）公共點為P，過P作兩條傾斜角互補且不重合的直線，它們與雙曲線都相交且另一個交點分別為A，B（不同于P）．
（1）求點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積；
（2）設直線PA斜率為k，求k的取值范圍；
（3）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

解：（1）由，得P（2，1），
雙曲線的漸近線方程是和，
點P（2，1）到兩條漸近線和的距離分別是
和，
∴點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積
d₁d₂=．
（2）設直線PA斜率為k，則PA的方程為：y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
由，消去y，并整理，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，
∵直線PA與雙曲線有兩個交點，
∴△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，
即k²-2k+1＞0，
∴k≠1．
故k的取值范圍是（-∞，1）∪（1，+∞）．
（3）∵P（2，1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA和PB是兩條傾斜角互補且不重合的直線，
設PA斜率是m，則PB斜率是-m
則PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，
分別與雙曲線方程聯立，得
，
（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，
∵2是方程的一個根，
∴-2，
同理，-2，
∴，
∵，
，
∴y₁-y₂=，
∴==-1．
即直線AB的斜率為定值-1．
分析：（1）由，得P（2，1），雙曲線的漸近線方程是和，由此能求出點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積．
（2）設直線PA斜率為k，則PA的方程為kx-y+1-2k=0，由，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，由直線PA與雙曲線有兩個交點，知△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，由此能求出k的取值范圍．
（3）P（2，1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設PPA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，分別與雙曲線方程聯立，得（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，由2是方程的一個根，知-2，同理，-2，所以，由，，所以y₁-y₂=，由此能夠證明直線AB的斜率為定值-1．
點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．