Question

【題目】已知離心率為的橢圓，右焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的最大值為3。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)分別為，且直線的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形的面積為定值。

【解析】

試題分析：（1）由題意知：，又，∴，∴，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，可得，，∴。當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓得，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)化簡(jiǎn)得.利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，計(jì)算。

試題解析：

（1）由題意知：，又，∴，∴，所以橢圓的方程為。

（2）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，可得，，∴。

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓得，設(shè)，有，，。∵，得，∴，化簡(jiǎn)得：。

∵，原點(diǎn)到直線的距離，∴綜上，四邊形的面積為定值。