Question

設x₁、x₂是關于x的方程x²+mx+m²-m=0的兩個不相等的實數根，那么過兩點A（x₁，

x

2 1

），B（x2，

x

2 2

）的直線與圓（x-1）²+（y-1）²=1的位置關系是（　　）

A．相離

B．相切

C．相交或相切

D．相離或相切

Answer 1

分析：根據韋達定理可得x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑進行比較可判定直線與圓的位置關系．

解答：解：∵x₁、x₂是關于x的方程x²+mx+m²-m=0的兩個不相等的實數根，
∴m²-4（m²-m）＞0，即0＜m＜

4

3

，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，消去x₂得-（-m-x₁）x₁=m²-m，
由A（x₁，x12），B（x₂，x22），
則直線AB的斜率k=

x 2 2 -x 2 1

x2-x1

=x₁+x₂=-m，
∴直線AB的方程為y-x₁²=-m（x-x₁），即mx+y-mx₁-x₁²=0，
又圓心坐標為（1，1），半徑r=1，
∴圓心到直線AB的距離d=

|m+1-mx1 -x 2 1 |

1+m2

=

|1+m2|

1+m2

=

1+m2

＞1
則直線AB與圓（x-1）²+（y-1）²=1相離．
故選A．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的判定，利用圓心到直線的距離與半徑進行比較是判定直線與圓的位置關系的常用方法，屬于中檔題．