Question

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，證明函數f（x）只有一個零點；
（Ⅲ）f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），兩點，AB中點為C（x，0），求證：f′（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意可得f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在定義域（0，+∞）上遞增，可得≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即對x∈（0，+∞）恒成立，只需   
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
對函數求導，利用導數的知識判斷函數f（x）在區間（0，1），（1，+∞）上單調性可知
當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0，當x≠1時，f（x）＜f（1）=0即函數f（x）只有一個零點       
（Ⅲ）由已知得  兩式相減，得
 
由及2x=x₁+x₂，得
=，結合導數的知識可證明
解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上遞增，∴≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即對x∈（0，+∞）恒成立，只需   …（2分）
∵x＞0， 當且僅當時取=
∴
∴b的取值范圍為      …（4分）
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞）
∴=…（6分）
∴0＜x＜1時，f′（x）＞0當x＞1時，f′（x）＜0
∴函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1）=0即
∴函數f（x）只有一個零點       …（8分）
（Ⅲ）由已知得  兩式相減，得
 
由及2x=x₁+x₂，得
==

==…（10分）
令∈（0，1）且（0＜t＜1）
∴
∴∅（t）在（0，1）上遞減，∴∅（t）＞∅（1）=0
x₁＜x₂，f′（x）＜0（12分）
點評：導數與函數的單調性的結合是導數最為基本的考查，而函數的恒成立問題常轉化為利用相關知識求解函數的最值問題，體現了轉化思想在解題中的應用，還考查了運用基本知識進行推理論證的能力