Question

（2011•天津模擬）不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

A．（-∞，-1]∪[4，+∞）

B．[-1，4]

C．[1，2]

D．（-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：令函數f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-

4

b

|，則由題意可得 f_min（x）≥a²-3a．而 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，故有4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，由此求得
實數a的取值范圍

解答：解：令函數f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-

4

b

|，則由不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）對任意實數x恒成立，
可得 f_min（x）≥a²-3a．
結合函數f（x）=

-(1+b)x+1 ， x≤-3 (1-b)x+7 ， -3＜x≤ 4 b (1+b)x-1 ， x ≥ 4 b

的圖象，可得
 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，∴4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，解得-1≤a≤4，
故選B．

點評：本題主要考查函數的恒成立問題，絕對值不等式的解法，求出函數f（x）的最小值，是解題的關鍵和難點，體現了數形結合的數學思想，注意函數f（x）=a|x-m|+b|x-n|，
當a＞b時，f（m）最小，當a＜b時，f（n）最小，當a=b時，f（m）=f（n）最小． 屬于中檔題．