Question

已知等比數列{a_n}滿足：a₃+a₄+a₅=28，且a₄+2是a₃、a₅的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{a_n}單調遞減，其前n項和為S_n，求使S_n＞127成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，首項為a₁依題意有2（a₄+2）=a₃+a₅，a₃+a₄+a₅=28，且a₄+2是a₃、a₅的等差中項．由此能夠推導出a_n．
（Ⅱ）求出S_n由題意可得 S_n＞127，由此能求出滿足條件的n的最小值．

解答：解：（I）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
依題意，有2（a₄+2）=a₃+a₅，
代入a₃+a₄+a₅=28，，得a₄=8
∴a₃+a₅=20，．               …（2分）
∴

a1q2+a1q4=20  a1q3=8

解之得

q=2 a1=1

或

q= 1 2 a1=64

  …（6分）
∴a_n=2^n-1或a_n=2^7-n．              …（8分）
（II）又{a_n}單調遞減，∴

q= 1 2 a1=64

．   …（9分）
則Sn=

64(1- 1 2n )

1- 1 2

=128(1-

1

2n

)． …（10分）
∴128(1-

1

2n

)＞127，即128-

1

2n

＜1，∴2ⁿ＞128，
∴n＞7．
故使S_n＞128成立的正整數n的最小值為8．…（12分）

點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活地運用公式解答．