Question

f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，且x∈[0，1）時f（x）為增函數，則不等式f(x)+f(x-

1

2

)＜0的解集為

(-

1

2

，

1

4

)

．

Answer 1

分析：根據奇函數的性質可得：x∈（-1，0]，時，f（x）也為增函數，可得f（x）是定義在（-1，1）上是增函數．所以由不等式f(x)+f(x-

1

2

)＜0變形為f(x)＜f(

1

2

-x)，再利用f（x）是定義在（-1，1）上是增函數，得到不等式組，進而求出答案．

解答：解：因為f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，且x∈[0，1）時f（x）為增函數，
所以根據奇函數的性質可得：x∈（-1，0]，時，f（x）也為增函數，
所以f（x）是定義在（-1，1）上是增函數．
因為f(x)+f(x-

1

2

)＜0，并且f（x）是奇函數，
所以f(x)＜f(

1

2

-x)，
又因為f（x）是定義在（-1，1）上是增函數，
所以

-1＜x＜1 -1＜ 1 2 -x＜1 x＜ 1 2 -x

，解得：-

1

2

＜x＜

1

4

．
故答案為：(-

1

2

，

1

4

)．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的應該性質，如奇偶性、單調性、定義域等性質，并且正確的利用函數的性質將抽象不等式轉化為不等式進行求解，而轉化時要注意定義域的限制即要進行等價轉化，此題屬于中檔題，是易錯題．