Question

（2013•河東區二模）已知函數f（x）=e^x-kx，x∈R（e是自然對數的底數，e=2.71828…）
（1）若k=e，求函數f（x）的極值；
（2）若k∈R，求函數f（x）的單調區間；
（3）若k∈R，討論函數f（x）在（-∞，4]上的零點個數．

Answer 1

分析：（1）將k=e代入，求出函數的解析式，進而求出導函數的解析式，分析函數的單調性，可得函數的極值．
（2）由已知中函數的解析式，求出導函數的解析式，對k進行分類討論，確定x在不同情況下導函數的符號，進而可得函數的單調性．
（3）解法一：根據（2）中函數的單調性分k=0時，k＜0，k＞0三種情況討論k取不同值時函數零點個數，最后綜合討論結果，可得答案．
解法二：根據函數的導函數，分k=0時，k＜0，k＞0三種情況討論k取不同值時，函數y=e^x與y=kx圖象交點的個數（即函數零點的個數），最后綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1）由k=e得f（x）=e^x-ex，
所以f'（x）=e^x-e．                 
令f′（x）=0，得e^x-e=0，解得x=1．
由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

…（2分）
所以當x=1時，f（x）有極小值為0，無極大值．                            …（3分）
（2）由f（x）=e^x-kx，x∈R，得f'（x）=e^x-k．
①當k≤0時，則f'（x）=e^x-k＞0對x∈R恒成立，
此時f（x）的單調遞增，遞增區間為（-∞，+∞）．                            …（4分）
②當k＞0時，
由f'（x）=e^x-k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=e^x-k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0時，f（x）的單調遞增區間是（lnk，+∞）；遞減區間是（-∞，lnk）． …（6分）
綜上，當k≤0時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）；
當k＞0時，f（x）的單調遞增區間是（lnk，+∞）；遞減區間是（-∞，lnk）． …（7分）
（3）解法一：
①當k=0時，f（x）=e^x＞0，對x∈R恒成立，所以函數f（x）在（-∞，4]上無零點．…（8分）
②當k＜0時，由（2）知，f'（x）=e^x-k＞0對x∈R恒成立，函數f（x）在（-∞，4]上單調遞增，
又f（0）=1＞0，f(

1

k

)=e

1

k

-1＜0，…（9分）
所以函數f（x）在（-∞，4]上只有一個零點．                     …（10分）
③當k＞0時，令f'（x）=e^x-k=0，
得x=lnk，且f（x）在（-∞，lnk）上單調遞減，在（lnk，+∞）上單調遞增，f（x）在x=lnk時取得極小值，
即f（x）在（-∞，4]上最多存在兩個零點．
（�。┤艉瘮礷（x）在（-∞，4]上有2個零點，
則

lnk＜4 f(lnk)=k(1-lnk)＜0 f(4)≥0

，
解得k∈(e，

e4

4

]；…（11分）
（ⅱ）若函數f（x）在（-∞，4]上有1個零點，
則f（4）＜0或

lnk≤4 f(lnk)=0

，
解得k∈(

e4

4

，+∞)或k=e；                                                               …（12分）
（ⅲ）若函數f（x）在（-∞，4]上沒有零點，
則

lnk＞4 f(4)＞0

或f（lnk）=k（1-lnk）＞0，
解得k∈（0，e）．                                                        …（13分）
綜上所述，當k∈(e，

e4

4

]時，f（x）在（-∞，4]上有2個零點；
當k∈(

e4

4

， +∞)∪(-∞，0)或k=e時，f（x）在（-∞，4]上有1個零點；
當k∈[0，e）時，f（x）在（-∞，4]上無零點．                   …（14分）
解法二：∵f（x）=e^x-kx，x∈R．
當k=0時，f（x）=e^x＞0對x∈R恒成立，所以函數f（x）在（-∞，4]上無零點．…（8分）
當k≠0時，f（x）=e^x-kx在（-∞，4]上的零點就
是方程e^x=kx在（-∞，4]上的解，即函數y=e^x
與y=kx在（-∞，4]上的交點的橫坐標．   …（9分）

①當k＜0時，如圖1，函數y=e^x與y=kx只在（-∞，0）上
有一個交點，即函數f（x）在（-∞，4]上有一個零點．                        …（10分）
②當k＞0時，
若y=e^x與y=kx相切時，
如圖2，設切點坐標為(x0，ex0)，則y/=ex|x=x0=ex0，
即切線的斜率是k=ex0，
所以ex0=ex0×x0，
解得x₀=1＜4，
即當k=e時，y=e^x與y=kx只有一個交點，
函數f（x）在（-∞，4]上只有一個零點x=1；…（11分）
由此，還可以知道，當0＜k＜e時，函數f（x）在（-∞，4]上無零點．         …（12分）
當y=kx過點（4，e⁴）時，如圖3，k=

e4

4

，
所以e＜k≤

e4

4

時，y=e^x與y=kx在（-∞，4]上
有兩個交點，即函數f（x）在（-∞，4]上有兩個零點；
k＞

e4

4

時，y=e^x與y=kx在（-∞，4]上只有一個
交點，即函數f（x）在（-∞，4]上只有一個零點．                            …（13分）
綜上所述，當k∈(e，

e4

4

]時，函數f（x）在（-∞，4]上有2個零點；
當k∈(

e4

4

， +∞)∪(-∞，0)或k=e時，函數f（x）在（-∞，4]上有1個零點；
當k∈[0，e）時，函數f（x）在（-∞，4]上無零點．                …（14分）

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，根的存在性及根的個數判斷，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，特別是第（3）中分類比較復雜，難度較大．