Question

如圖，橢圓C：過點M（1，），N（），梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，且AB＞CD）內接于橢圓，E是對角線AC與BD的交點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設AB=m，CD=n，OE=d，試求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把M、N兩點坐標代入橢圓方程解方程組即可；
（Ⅱ）易判斷點E在x軸上，則E（d，0），設BD的方程為x=ky+d（k＞0），與橢圓方程聯立消x得關于y的一元二次方程，設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由韋達定理可得y₁+y₂，進而可把m-n、用k表示出來，再利用基本不等式即可求得其最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，
解得a²=9，b²=4，
所以橢圓C的方程為：．
（Ⅱ）根據對稱性可知點E在x軸上，則E點的坐標為（d，0），
設BD的方程為x=ky+d（k＞0），由得（9+4k²）y²+8dky+4d²-36=0，
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=-，
m-n=-2y₁-2y₂=，
從而≤==，
等號當且僅當k=取得．
的最大值為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，考查基本不等式在求最值中的應用，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，（Ⅱ）問關鍵是表示為k的函數．