Question

在平面α內有△ABC，在平面α外有點S，斜線SA⊥AC，SB⊥BC，且斜線SA、SB與平面α所成角相等．
（1）求證：AC=BC
（2）又設點S到α的距離為4cm，AC⊥BC且AB=6cm，求S與AB的距離．

Answer 1

分析：（1）過S作SO⊥面ABC于O，根據線面垂直的性質可得AC⊥AO，BC⊥BO，而AO=BO，OC=OC，則△AOC≌△BOC，從而可得結論；
（2）先證四邊形ABCD是正方形，然后求出點O到AB的距離，從而可求出S到AB的距離．

解答：（1）證明：過S作SO⊥面ABC于O，斜線SA、SB與平面α所成角相等
則∠SBO=∠SAO
∴AO=BO
∵SA⊥AC，SO⊥AC，SA∩SO=S
∴AC⊥面SAO，AO?面SAO
∴AC⊥AO，同理可證 BC⊥BO
而OC=OC
∴△AOC≌△BOC
∴AC=BC
（2）∵AC=BC，AC⊥AO，BC⊥BO
∴四邊形ABCD是正方形
∴OC=AB=6
即點O到AB的距離為3
∴S到AB的距離為

42+32

=5cm．

點評：本題主要考查了點、線距離的度量，以及線面垂直的判定和性質，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．