Question

（2013•鹽城二模）若實數a、b、c、d滿足

a2-2lna

b

=

3c-4

d

=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

2(ln2-1)2

5

．

Answer 1

分析：由

a2-2lna

b

=

3c-4

d

=1可知點P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，由導數的幾何意義可知，過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與線y=3x-4平行時，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答：解：∵

a2-2lna

b

=

3c-4

d

=1，
∴點P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，當且僅當過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與線y=3x-4平行時．
∵f′（x）=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴當x=1時，f（x）取得極小值，為1．
作圖如下：


∵f′（x）|_x=a=2a-

2

a

，直線y=3x-4的斜率k=3，
∴2a-

2

a

=3，
∴a=2或a=-

1

2

（由于a＞0，故舍去）．
∴b=2²-2ln2=4-2ln2．
設點P（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離為d，則d²=

|6-(4-2ln2)-4|2

( 10 )2

=

2(ln2-1)2

5

．
∵|PQ|²≥d²=

2(ln2-1)2

5

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為

2(ln2-1)2

5

．
故答案為：

2(ln2-1)2

5

．

點評：本題考查函數最值的應用，分析得到點P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是關鍵，也是難點，考查理解題意與等價轉化思想的綜合應用，考查導數的幾何意義及點到直線間的距離，屬于難題．