Question

在△ABC中，若（

CA

+

CB

）•

AB

=

2

5

|

AB

|²，則

tanA

tanB

=

7

3

．

Answer 1

分析：花間條件求得 a²-b²=

2

5

c²，利用正弦定理可得sin²A-sin²B=

2

5

sin²（A+B）．利用恒等變換化簡可得3sinAcosB=7cosAsinB，從而求得

tanA

tanB

=

sinAcosB

cosAsinB

 的值

解答：解：在△ABC中，∵（

CA

+

CB

）•

AB

=

2

5

|

AB

|²，∴（

CA

+

CB

）•（

CB

-

CA

）=

2

5

AB

2，∴a²-b²=

2

5

c²，
利用正弦定理可得 sin²A-sin²B=

2

5

sin²（A+B）．
∴5（sinA+sinB）（sinA-sinB）=2sin（A+B）sin（A+B），
即 5×2sin

A+B

2

cos

A-B

2

×2cos

A+B

2

sin

A-B

2

=2sin（A+B）sin（A+B），
化簡可得 5sin（A-B）=2sin（A+B），5sinAcosB-5cosAsinB=2sinAcosB+2cosAsinB，
即 4sinAcosB=7cosAsinB，∴

tanA

tanB

=

sinAcosB

cosAsinB

=

7

3

，
故答案為

7

3

．

點評：本題考查了向量的數量積在幾何中的應用，涉及了向量數量積的定義，向量夾角的定義以及正弦定理的應用．解題時要特別注意向量的夾角與三角形內角的關系，在三角形問題中，解題的思路一般是應用正弦定理和余弦定理進行“邊化角”或“角化邊”．屬于中檔題．