Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）圓的切線與橢圓相交于、兩點，證明：為鈍角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用橢圓定義求出的值，可得出的值，再結合焦點的坐標可得出的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）分直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，得出直線的方程為，求出點、的坐標，并驗證；在直線的斜率存在時，設直線的方程為，由直線與圓相切得出，再將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用平面向量數量積的運算律得出，由此可證明出為鈍角.

（1）設橢圓的左焦點為，則，

由橢圓的定義可得，，

，因此，橢圓的方程為；

（2）①當直線的斜率不存在時，則直線的方程為.

若直線的方程為，聯立直線與橢圓的方程，得，

則點、，，，此時，；

當直線的方程為，同理可得出；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，

由于直線與圓相切，則，可得.

將直線的方程與橢圓的方程聯立，

消去得，

，

由韋達定理得，.

.

綜上所述，為鈍角.