Question

設函數f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求F（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（2）在（1）的結論下，是否存在實常數k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立？若存在，求出k和m，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數解析式，求出導函數的解析式，根據f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），可求出a，b的值，進而求出F（x）的解析式，求導后，分析函數的單調性，進而可得F（x）的極小值
（2）根據（1）可得（1，1）是f（x）和g（x）的公共點，過此點兩個函數圖象的公切線為y=2x-1，若存在實常數k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立，即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同時成立，根據二次函數的圖象和性質及導數法判斷后可得答案．
解答：解：（1），代入可得：a=1，b=1
∴F（x）=x²-lnx-x，
∴==
∵當x∈（0，1）時，F′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，1）遞減，（1，+∞）遞增，
∴F（x）的極小值為F（1）=0
（2）由（1）得，（1，1）是f（x）和g（x）的公共點，
f（x）在點（1，1）處的切線方程是y=2x-1
∴若存在實常數k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立
即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同時成立
∵f（x）-2x+1=x²-2x+1=（x-1）²≥0，
∴f（x）≥2x-1
令h（x）=g（x）-2x+1，，
∴h（x） 在（0，1）遞增，（1，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴h（x）≤0，即g（x）≤2x-1成立
∴存在k=2，m=-1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，其中（1）中求出a，b值，進而確定函數的解析式是解答的關鍵．